数列错位相减叠加叠成a1=1an=a倍的n-1+2的n-1次方求通项ana1=1an=n/n+1*a倍的n-1（n大于等于2）求通项an已经an=n*2的n次方求Sn

Question

数列 错位相减 叠加 叠成
a1=1 an=a倍的n-1 + 2的n-1次方 求通项an
a1=1 an=n/n+1 * a倍的n-1 （n大于等于2） 求通项an
已经 an=n*2的n次方 求Sn

Answer 1

如果题目确实如一楼那样的理解,是符合楼主标题“数列 错位相减 叠加 叠成”
的要求的,不过次序和最后一个字也要改一下,应该是“数列的叠加、叠乘和错位相减”：
(1)a[1]=1,a[n]=a[n-1]+2^(n-1),求通项a[n] 【数列的叠加】
(2)a[1]=1,a[n]=[n/(n+1)]a[n-1],求通项a[n] 【数列的叠乘】
(3)已知a[n]=n2^n,求S[n] 【数列的错位相减】
具体解答如下：
(1)∵a[n]=a[n-1]+2^(n-1)
∴a[n]-a[n-1]=2^(n-1)
a[n-1]-a[n-2]=2^(n-2)
.
a[3]-a[2]=2^2
a[2]-a[1]=2^1
∵a[1]=1=2^0
将上面各式叠加,得：
a[n]=(1-2^n)/(1-2)=2^n-1
(2)∵a[n]=[n/(n+1)]a[n-1]
∴a[n]/a[n-1]=n/(n+1)
a[n-1]/a[n-2]=(n-1)/n
.
a[3]/a[2]=3/4
a[2]/a[1]=2/3
∵a[1]=1
将上面各式叠乘,得：
a[n]=2/(n+1)
(3)∵数列{a[n]}的通项公式是：a[n]=n2^n
∴S[n]=1*2^1+2*2^2+3*2^3+...+n2^n
而2S[n]=1*2^2+2*2^3+3*2^4+...+n2^(n+1)
∴S[n]
=2S[n]-S[n]
=n2^(n+1)-{2^1+2^2+2^3+...+2^n}
=n2^(n+1)-2(2^n-1)
=n2^(n+1)-2^(n+1)+2
=(n-1)2^(n+1)+2
∴数列{a[n]}的前n项和S[n]=(n-1)2^(n+1)+2