在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AC,BC=BD=（√2+1)CD,则角BAC+角BDC的度数没有图,望有能者想一想,

Question

在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AC,BC=BD=（√2+1)CD,则角BAC+角BDC的度数
没有图,望有能者想一想,

Answer 1

令CD、BC的中点分别为E、F.
∵AB＝AC、BC＝BD,∴BE⊥CD、AF⊥BC.
由锐角三角函数定义,有：cos∠C＝CE/BC＝（1/2）CD/［（√2＋1）CD］＝（√2－1）/2.
∴sin∠C＝√［1－（cosC）^2］＝√［1－（3－2√2）/4］＝√（1＋2√2）/2.
显然有：sinC＝AF/CD,∴AF＝√（1＋2√2）CD/2.
∴tan∠BAF＝BF/AF＝（1/2）BC/AF＝（√2＋1）/√（1＋2√2）.
∵AB＝AC、AF⊥BC,∴∠BAC＝2∠BAF.
∴tan∠BAC＝2tan∠BAF/［1－（tan∠BAF）^2］
＝2［（√2＋1）/√（1＋2√2）］/｛1－［（√2＋1）/√（1＋2√2）］^2｝
＝2［（√2＋1）/√（1＋2√2）］/［1－（3＋2√2）/（1＋2√2）］
＝2［（√2＋1）/√（1＋2√2）］/［（1＋2√2－3－2√2）/（1＋√2）］
＝－（√2＋1）√（1＋2√2）.
∵BC＝BD,∴∠C＝∠BDC.
又tan∠C＝sin∠C/cos∠C＝［√（1＋2√2）/2］/［（√2－1）/2］＝（√2＋1）√（1＋2√2）.
∴tan∠BDC＝（√2＋1）√（1＋2√2）.
由tan∠BAC＝－（√2＋1）√（1＋2√2）、tan∠BDC＝（√2＋1）√（1＋2√2）,得：
tan∠BAC＋tan∠BDC＝0.
∴tan（∠BAC＋∠BDC）＝（tan∠BAC＋tan∠BDC）/（1－tan∠BACtan∠BDC）＝0.
显然有：0°＜∠BAC＜180°,　0°＜∠BDC＜180°,　∴0°＜∠BAC＋∠BDC＜360°,
∴∠BAC＋∠BDC＝180°.