已知：F1和F2为双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，（1）求：双曲线的离心率；（2）若双曲线经过点Q（4，6），求：双曲线的方程．

Question

已知：F₁和F₂为双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，F₁，F₂，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，
（1）求：双曲线的离心率；
（2）若双曲线经过点Q（4，6），求：双曲线的方程．

Answer 1

（1）∵F₁，F₂，P（0，2b）构成正三角形，∴2b＝√(3)c，
即有3c²=4（c²-a²），则e＝(c)/(a)＝2；
（2）∵双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝(c)/(a)＝2，∴c²=4a²，
∵c²=a²+b，∴b²=3a²，∴双曲线方程变为(x2)/(a2)−(y2)/(3a2)＝1，
∵双曲线经过点Q（4，6），∴(16)/(a2)−(36)/(3a2)＝1，
∴a²=4，则双曲线方程为(x2)/(4)−(y2)/(12)＝1．