在Rt△ABC中,角C=90°,AB=根号13,若6(AC+BC)=5AC*BC,求AC的长

Question

在Rt△ABC中,角C=90°,AB=根号13,若6(AC+BC)=5AC*BC,求AC的长

Answer 1

AB是斜边
所以AC²+BC²=AB²=13
AC²+2AC*BC+BC²=13+2AC*BC
所以(AC+BC)²=13+2AC*BC
AC*BC=[(AC+BC)²-13]/2
6(AC+BC)=5AC*BC
所以6(AC+BC)=5*[(AC+BC)²-13]/2
令x=AC+BC
6x=5(x²-13)/2
5x²-12x-65=0
(5x+13)(x-5)=0
显然x>0
x=5
AC+BC=5,BC=5-AC
AC*BC=[(AC+BC)²-13]/2=6
所以 AC*(5-AC)=6
AC²-5AC+6=0
(AC-2)(AC-3)=0
AC=2或AC=3