求关于x的方程ax2-（a2+a+1）x+a+1=0至少有一个正根的充要条件．

Question

求关于x的方程ax²-（a²+a+1）x+a+1=0至少有一个正根的充要条件．

Answer 1

法一：若a=0，则方程即为-x+1=0，
∴x=1满足条件；
若a≠0，∵△=（a²+a+1）²-4a（a+1）
=（a²+a）²+2（a²+a）+1-4a（a+1）
=（a²+a）²-2a（a+1）+1=（a²+a-1）²≥0，
∴方程一定有两个实根．
故而当方程没有正根时，应有

(a2+a+1)/(a)≤0

(a+1)/(a)≥0

，解得a≤-1，
∴至少有一正根时应满足a＞-1且a≠0，
综上，方程有一正根的充要条件是a＞-1．
方法二：若a=0，则方程变为-x+1=0，x=1满足条件，若a≠0，
则方程至少有一个正根等价于(a+1)/(a)＜0或

a+1＝0

(a2+a+1)/(a)＞0

或

(a2+a+1)/(a)＞0

(a+1)/(a)＞0

(a2+a+1)2−4a(a+1)≥0

⇔-1＜a＜0或a＞0．
综上：方程至少有一正根的充要条件是a＞-1．