已知二次函数f（x）满足条件：f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x（1）求f（x）（2）讨论f（|x|）=a（a∈R）的解的个数．

Question

已知二次函数f（x）满足条件：f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x
（1）求f（x）
（2）讨论 f（|x|）=a（a∈R）的解的个数．

Answer 1

（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），∵f（0）=1，∴c=1．
∵f（x+1）=f（x）+2x，∴a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+bx+1+2x，
∴2ax+a+b≡2x，∴

2a=2

a+b=0

，解得

a=1

b=-1

，
∴f（x）=x²-x+1．
（2）由f（|x|）=x²-|x|+1=

x2-x+1，当x≥0时

x2+x+1，当x<0时

，画出图象如图所示，
再画出函数y=a的图象，用虚线表示．
∵f（|x|）=(|x|-(1)/(2))2+(3)/(4)，∴f（|x|）≥(3)/(4)．
以下对a进行讨论．
当 a<(3)/(4)时，方程无解；
当a=(3)/(4)或a>1时，方程有两个解；
当a=1时方程有三个解；
 当(3)/(4)<a<1时，方程有四个解．