求f(x)=1/(1+sinx)的定义域=已知直线y=kx-1交抛物线y^2=4x于P,Q两点,若线段PQ中点的横坐标为1,求线段PQ的长.

Question

求f(x)=1/(1+sinx)的定义域=______
已知直线y=kx-1交抛物线y^2=4x于P,Q两点,若线段PQ中点的横坐标为1,求线段PQ的长.

Answer 1

1.求f(x)=1/(1+sinx)的定义域=______
由1+sinx≠0,得sinx≠-1,即x≠-π/2+2kπ为其定义域.
2.已知直线y=kx-1交抛物线y²=4x于P,Q两点,若线段PQ中点的横坐标为1,求线段PQ的长.
将y=kx-1代入抛物线方程得：(kx-1)²=4x,即有k²x²-2(k+2)x+1=0.(1)
设P(x₁,y₁)；Q(x₂,y₂)；依韦达定理,x₁+x₂=2(k+2)/k²；x₁x₂=1/k²；
已知线段PQ中点的横坐标=(x₁+x₂)/2=(k+2)/k²=1,故得k²-k-2=(k-2)(k+1)=0,∴k₁=-1,k₂=2
当k=-1时,x₁+x₂=2,x₁x₂=1；此时︱PQ︱=[√(1+k²)]√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=(√2)√(4-4)=0
当k=2时,x₁+x₂=2,x₁x₂=1/4；此时︱PQ︱=(√5)√(4-1)=√15.