黑板上写有1,2,3,...,2011一串数.黑板上写有1,2,3,4.2011一串数,如果每次都擦去最前面的16个数,并在这串数的最后再写上擦去的16个数的和,直至只剩下1个数则：（1）最后剩下的这个数是多少?（2

Question

黑板上写有1,2,3,...,2011一串数.
黑板上写有1,2,3,4.2011一串数,如果每次都擦去最前面的16个数,并在这串数的最后再写上擦去的16个数的和,直至只剩下1个数则：（1）最后剩下的这个数是多少?（2）所有在黑板上出现过的数的总和是多少?（需要过程或方法）

Answer 1

(1)
每操作一次,不影响黑板上所有数的总和,因此最后剩下
=1+2+3+……+2011
=(1+2011)*2011/2
=2023066
(2)
倒数第2次操作,黑板上就16个数,总和是2023066
这16个数来源于16*16=256个数,这256个数的和也同上.
2011-(16-1)X = 256 ,X = 117次
显然,从开始,只要117次操作,黑板上就剩256个数.
也就是
①原有2011个数,和2023066
②操作117次,黑板剩余256个数：1873到2011,新出现117个和.这117个和=2023066-(1873+2011)*139/2=1753128
③操作16次,黑板剩余16个数都是新出现,和=2023066
④操作1次,黑板剩余1个数=2023066
综上,所有出现过的数 = 2023066+1753128+2023066+2023066=7822326