已知点F（p/2,0）,直线L：x=-p/2,点M为L上的动点,过点M垂直于y轴的直线与线段MF的中垂线交于点N1,求点N的轨迹方程2,若p=2,直线y=x与点N的轨迹交于AB两点,试问N的轨迹上是否存在两点CD使ABCD四点共

Question

已知点F（p/2,0）,直线L：x=-p/2,点M为L上的动点,过点M垂直于y轴的直线与线段MF的中垂线交于点N
1,求点N的轨迹方程
2,若p=2,直线y=x与点N的轨迹交于AB两点,试问N的轨迹上是否存在两点CD使ABCD四点共圆?若存在,求圆的方程

Answer 1

1,连接FN,因为FN=MN （中垂线） 所以根据抛物线性质可以知道这个N点的轨迹方程是
焦点为F在X正半轴 准线为X=-P/2 c=p/2 的抛物线 Y^2=mX
m/4=c 所以方程为y^2=2px
2.由题意可以得到,Y=X与抛物线其中一个交点为（0,0）
联解两方程
y^2=4x
y=x
得A(0,0)B(4,4)
k直线=KAB=1
设KCD为园的直径斜率,CD为园的直径,则有KCD乘以KAB=-1
KCD=-1
设CD直线方程Y=-X+b
AB中点（2,2）过方程Y=-X+b
得b=4
Y=-X+4与抛物线方程联解得X^2+16-12X=0
韦达定理X1+X2=b/-a=12
X1乘以X2=c/a=16
距离公式：CD=根号下[1-k^2]乘以|X1-X2|(绝对值)
|X1-X2|=根号下【(X1+X2)^2-4X1X2】
解出来CD=4倍根号5
------------如果觉得记公式复杂了就把X1,X2解出来然后CD=根号下[(X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2]
CD为园的直径,半径就是2倍的更号5
园的方程
AB中点E（2,2）
.算了还是把CD两点求出来
C(6+2倍根号五,-2根号5再-2)
D(6-2倍根号五,2倍根号5再-6)
于是D到AB中点E的距离和D到A或B的距离成勾股数
用勾股定理AE平方+DE平方=AD平方
8+120-48倍根号五=112-48倍根号五
唔好像算错了..反正第二个问很难算的,想要做起你再去算下吧最后的式子应该是能成立的
然后用CD中点式把园心求出来代入园的一般方程即可
(X-X0)^2+(Y-Y0)^2=r^2 X0Y0为圆心