求这个不定方程组的所有正整数解x-1=y²x+1=z²错了是x-1=y²x+1=z³

Question

求这个不定方程组的所有正整数解
x-1=y²
x+1=z²
错了
是x-1=y²
x+1=z³

Answer 1

x-1=y^2①；x+1=z^3②；从①解出x后带入②得：z^3-y^2=2③,由③可知z、y同为偶数或同为奇数,设z、y同为偶数：z=2m、y=2n(m、n为正整数),带入③得8m^3-4n^2=2,即4m^3-2n^2=1,该式左端为两个偶数之差,结果不可能为奇数!所以z、y同为奇数；设z=2m-1④,y=2n-1,带入③式得：z^3-y^2=8m^3-12m^2+6m-1-4n^2+4n-1=2(4m^3-6m^2+3m-2n^2+2n-1)=2,所以4m^3-6m^2-2n^2+2n+3m-1=1,即2(2m^3-3m^2-n^2+n)+3m=2,由此可知m为偶数,设m=2k(k为正整数),代入④式得z=4k-1⑤,将⑤代入③式得y^2=z^3-2=64k^3-48k^2+12k-3⑥；⑥式右端为平方数,有三种情况：第一种情况2√(64k^3)√(12k-3)=48k^2,此时k=1⑦；第二种情况2√(64k^3-3)√(12k)=48k^2,此时k=(3/16)^(1/3),此解不合理(k为正整数),舍去；第三种情况2√(64k^3)√(12k)=48k^2+3,此式左端为偶数右端为奇数,不可能成立；将k=1代入⑤得z=3,将z=3代入③得y=5,将y=5代入①得x=26,所以本题的正整数解只有一组：x=26、y=5、z=3(毕).