很惭愧,不知道这个方程是常微分方程还是全微分方程,是经济学上的斯通需求函数的求解过程dL/dqi=bi/(qi-ri)-入pi=0dL/d入=Σqi*pi-V=0上述方程是怎么求的以下的解的？qi=ri+bi/pi(V-Σri*pi)i=1,2,...,

Question

很惭愧,不知道这个方程是常微分方程还是全微分方程,是经济学上的斯通需求函数的求解过程
dL/dqi=bi/(qi-ri)-入pi=0
dL/d入=Σqi*pi - V = 0
上述方程是怎么求的以下的解的？
qi=ri+bi/pi(V-Σri*pi ) i= 1,2,...,n

Answer 1

这个不是微分方程.就是在解方程而已.
你的条件是拉格朗日条件极值求出来的一阶条件,且第一个一阶条件其实有n个,因为是n种商品；(以下Sum是求和符号)
第二个一阶条件其实就是预算约束,V是收入吧.
现在要求q(i),所以消去入即可.先对第一个式子变形,两边同乘以q(i)-r(i)：
b(i) = 入p(i) [q(i) - r(i)],解出
q(i) = b(i) / [入p(i)] + r(i),(1)
然后两边乘以p(i),得到：
p(i)q(i) = b(i)/入 + p(i)r(i),i = 1,2,...,n
然后两边同时对i求和,并利用第二个约束 Σqi*pi = V,就得到：
V = Sum (i从1到n) b(i) / 入 + Sum (i从1到n) p(i)r(i),从而
入 = Sum (i从1到n) b(i) / [V - Sum (i从1到n) p(i)r(i)],最后将其代回（1）,就有
q(i) = b(i)[V - Sum (i从1到n) p(i)r(i)] / { [Sum (i从1到n) b(i)] * p(i)} + r(i),
公式看起来复杂,但那是我这里打出来的缘故,你自己写写就简单了.
你仔细看上面求出来的这个结果,和你那个答案是一样的.虽然这里多出来了一个求和式：
Sum (i从1到n) b(i),但我猜它是等于1吧,因为斯通需求函数的指数可以单位化为求和是1.