设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1（t∈R,t＞0）（1）求f（x）的最小值h（t）（2）若h（t）＜-2t+m对t∈（0,2）时恒成立,求实数m的取值范围

Question

设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1（t∈R,t＞0）
（1）求f（x）的最小值h（t）
（2）若h（t）＜-2t+m对t∈（0,2）时恒成立,求实数m的取值范围

Answer 1

（1）f(x)=t(x^2+2tx)+t-1
=t(x+t)^2+t-1-t^3
当x=-t时,f(x)的最小值为h(t)=t-1-t^3.
（2）h（t）＜-2t+m对t∈（0,2）时恒成立.则
t-1-t^30
t(t^2-3)>-m-1
t∈（0,2）
当t^2-3>=0时,即2>t>=√3时t(t^2-3)为正,2>-m-1>=0,-3