已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点

Question

已知梯形ABCD中，AD ∥ BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．
（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②当CE=1时，写出AP的长．（不必写解答过程）

Answer 1

（1）∵ABCD是梯形，AD ∥ BC，AB=DC．
∴∠A=∠D
∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A
∴∠ABP=∠DPC，
∴△ABP ∽ △DPC
∴ (AP)/(CD) =(AB)/(PD) ，即： (AP)/(2) =(2)/(5-AP)
解得：AP=1或AP=4．

（2）①由（1）可知：△ABP ∽ △DPQ
∴ (AP)/(DQ) =(AB)/(PD) ，即： (x)/(2+y) =(2)/(5-x) ，
∴ y=-(1)/(2) x 2 +(5)/(2) x-2 （1＜x＜4）．
②当CE=1时，
∵△PDQ ∽ △ECQ，
∴ (CE)/(PD) =(CQ)/(DQ) ，
(1)/(5-x) =(y)/(y+2) 或 (1)/(5+x) =(y)/(y-2) ，
∵ y=-(1)/(2) x 2 +(5)/(2) x-2 ，
解得：AP=2或 3-

5

（舍去）．