（2014•台山市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点M、N分别为AB，AC边的中点，点D为BC边的中点，动点P从点A出发，沿射线AB方向移动，作∠PDQ=90°，点Q在AC上，设AP=x，CQ=y．（1）

Question

（2014•台山市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点M、N分别为AB，AC边的中点，点D为BC边的中点，动点P从点A出发，沿射线AB方向移动，作∠PDQ=90°，点Q在AC上，设AP=x，CQ=y．
（1）证明：△PDM∽△QDN；
（2）求y与x的函数关系式，并求x的取值范围；
（3）问x为何值时，△CDQ是等腰三角形？

Answer 1

（1）∵点M、N分别为AB，AC边的中点，点D为BC边的中点，
∴DM，DN是中位线，
∵∠A=90°，
∴∠DMP=∠DNQ=∠MDN=90°，
∵∠PDQ=90°，
∴∠PDM=90°-∠PDN，∠QDN=90-∠PDN，
∴∠PDM=∠QDN，
∴△PDM∽△QDN；              

（2）∵AB=6，AC=8，
∴DM=4，DN=3，
∵△PDM∽△QDN，
∴(PM)/(QN)=(DM)/(DN)=(4)/(3)，
∴QN=(3)/(4)PM，
若点P在AM上，则点Q在CN上，PM=3-x，QN=(3)/(4)（3-x），y=CQ=CN-QN=4-(3)/(4)（3-x）=(7)/(4)+(3)/(4)x，
若点P在MB上，则点Q在NA上，PM=x-3，QN=(3)/(4)（x-3），y=CQ=CN+QN=4+(3)/(4)（x-3）=(7)/(4)+(3)/(4)x，
∴所求的函数关系式是y=(3)/(4)x+(7)/(4)，
当点Q与点A重合时，即CQ=8，此时，(3)/(4)x+(7)/(4)=8，
解得：x=(25)/(3)，
∴x的取值范围是0≤x≤(25)/(3)；      

（3）∵点D为Rt△ABC斜边BC的中点，
∴DA=DC=5，
由（2）可知，点Q与点A重合，△CDQ是等腰三角形，此时，x=(25)/(3)，
若CQ=CD=5，QN=CQ-CN=1，此时PM=(4)/(3)QN=(4)/(3)，
x=AP=3+(4)/(3)=(13)/(3)，
若CQ=DQ，过点Q作QE⊥DC，则CE=(5)/(2)，cos∠C=(CE)/(CQ)，
在Rt△ABC中，cos∠C=(AC)/(BC)=