初二数学上册菱形ABCD中,角A=60°,P、Q分别在AB,BC边上,角PDQ=60°,（1）求证△DPQ为正三角形.（2）设AD=4,DP=X,写出S△DPQ关于X的表达式,并求出S△DPQ的最小值.

Question

初二数学上册菱形ABCD中,角A=60°,P、Q分别在AB,BC边上,角PDQ=60°,（1）求证△DPQ为正三角形.
（2）设AD=4,DP=X,写出S△DPQ关于X的表达式,并求出S△DPQ的最小值.

Answer 1

连接BD
∵菱形ABCD
∴∠A=∠ADB=∠BDC=∠DBQ=60°(对角线把菱形分为两个等边三角形)
∴AD=BD
∵∠ADP+∠BDP=60° ∠BDQ+∠BDP=60°
∴∠ADP=∠BDQ
再证明△ADP全等于△BDQ
｛∠A=∠DBQ,AD=BD,∠ADP=∠BDQ
∴PD=QD
又∵∠PDQ=60°
∴△DPQ为等边三角形（正三角形）
（2）
（根据等边三角形面积公式：若一边为a,那么高为2分根号3a）
由题意得：DP为x
∴S△DPQ=4分之根号3 · x^2
∵P在AB上,若到D距离最短,肯定垂直于AB （PD⊥AB）
∴三线合一（等边三角形ABD中）
∴AP=二分之一AB=2
∵PD⊥AB
∴AP^2+PD^2=AD^2
PD=2根号3
∴S△DPQ 最小为二分之根号432.