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一道相似三角形题,在等边三角形ABC中,P是BC上一点,连接AP,做AP的中垂线分别交AB、AC于M、N,求证：三角形MBP相似于三角形PCN.
题目详情
一道相似三角形题,
在等边三角形ABC中,P是BC上一点,连接AP,做AP的中垂线分别交AB、AC于M、N,求证：三角形MBP相似于三角形PCN.
在等边三角形ABC中,P是BC上一点,连接AP,做AP的中垂线分别交AB、AC于M、N,求证：三角形MBP相似于三角形PCN.
▼优质解答
答案和解析
因为：三角形ABC为等边三角形
所以：角B=角C=角MAN=60度
因为：MN为AP的中垂线,
所以：AM=PM,AN=PN
（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）
在三角形MAN与三角形MPN中
因为：AM=PM,AN=PN,MN=MN
所以：三角形MAN 全等于 三角形MPN（SSS）
所以：角MAN=角MPN
又因为：角MAN=60度
所以：角MPN=60度
因为：角BMP+角MPB=120度,角MPB+角NPC=120度
所以：角BMP=角NPC
在三角形MBP与三角形PCN中
因为：角BMP=角NPC,角B=角C
所以：三角形MBP 相似于 三角形PCN
所以：角B=角C=角MAN=60度
因为：MN为AP的中垂线,
所以：AM=PM,AN=PN
（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）
在三角形MAN与三角形MPN中
因为：AM=PM,AN=PN,MN=MN
所以：三角形MAN 全等于 三角形MPN（SSS）
所以：角MAN=角MPN
又因为：角MAN=60度
所以：角MPN=60度
因为：角BMP+角MPB=120度,角MPB+角NPC=120度
所以：角BMP=角NPC
在三角形MBP与三角形PCN中
因为：角BMP=角NPC,角B=角C
所以：三角形MBP 相似于 三角形PCN
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