经过点M(10,0）作圆C：（x-4)^2+y^2=100的弦AB,则弦AB中点N所在的曲线方程为希望有详细的过程,

Question

经过点M(10,0）作圆C：（x-4)^2+y^2=100的弦AB,则弦AB中点N所在的曲线方程为希望有详细的过程,

Answer 1

设AB所在的方程l：
AB不垂直于x轴时,l：y=k(x-10),k为任意实数
设N(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)
因此,有：x=(x1+x2)/2,y=(y1+y2)/2
即x1+x2=2x,y1+y2=2y
因为A,B在圆上,所以满足：
(x1-4)^2+y1^2=100
(x2-4)^2+y2^2=100
两式相减得：
(x1-4)^2+y1^2-(x2-4)^2-y2^2=0
即(x1+x2-8)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0
将x1+x2=2x,y1+y2=2y代入得：
(2x-8)(x1-x2)=-2y(y1-y2)
即(x-4)=-y * (y1-y2)/(x1-x2)
利用斜率的定义：k=(y1-y2)/(x1-x2)
即得：x-4=-ky
又有：y=kx-10k
联立上两式,消去k
y=[(4-x)/y]*(x-10)
整理：
y^2+(x-4)(x-10)=0
y^2+x^2-14x+40=0
(x-7)^2+y^2=9
当AB垂直于x轴时,N(10,0)
因此,综上所述：
N所在的方程为：(x-7)^2+y^2=9