高中数学必修五简单线性规划中使用的,求出关于可行域内的点到目标函数的距离的公式的问题某工厂计划生产甲、乙两种产品,这两种产品都需要两种原料.生产甲产品1工时需要A种原料3kg,B种

Question

高中数学必修五简单线性规划中使用的,求出关于可行域内的点到目标函数的距离的公式的问题
某工厂计划生产甲、乙两种产品,这两种产品都需要两种原料.生产甲产品1工时需要A种原料3kg,B种原料1kg；生产乙产品1工时需要A种原料2kg,B种原料2kg.现有A种原料1200kg,B种原料800kg.如果生产甲产品每工时的平均利润是30元,生产乙产品每工时的平均利润是40元,问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大?最大利润是多少?
设计划生产甲种产品x工时,生产乙种产品y工时,则获得利润总额为：f=30x+40y ①
其中x、y满足下列条件 3x+2y≤1200 ,x+2y≤800 ,x≥0 ,y≥0 ②
于是问题转化为,在x、y满足条件②的情况下,求式子 30x+40y 的最大值.
画出不等式组②表示的平面区域OABC(如图).问题又可以转化为,在不等式组②表示的平面区域内找一点,把它的坐标代入式子 30x+40y时,使该式取最大值.
令 30x+40y=0,则此方程表示通过原点的一条直线,记为L0.易知,在区域OABC内有 30x+40y≥0.考察这个区域内任意一点P(x,y)到L0的距离 d=|30x+40y|/√(30²+40²)= (30x+40y)/√(30²+40²),于是
30x+40y=｛√(30²+40²)｝·d
这就是说,点P(x,y)到直线L0的距离d越大,式子30x+40y的值也越大.因此,问题就转化为：在不等式组②表示的平面区域内,找与直线L0距离最大的点.
为了在区域OABC内精确地找到这一点,我们平移直线L0到位置L,使L通过OABC内的某点,且OABC内的其他各点都在L的包含直线L0的同一侧,〖很容易证明该点到L0的距离最大.〗
“易知,在区域OABC内有 30x+40y≥0.考察这个区域内任意一点P(x,y)到L0的距离 d=|30x+40y|/√(30²+40²)= (30x+40y)/√(30²+40²)”中求出距离的这个公式是怎么来的.

Answer 1

呵呵,点(X0,Y0)到直线“AX BY C等于0”的距离:d等于|AX0 BY0 C|/根号(A^2 B^2),这是平面解析几何颗本里的公式啊!