已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0),若f(x)的单调递减区间是(0,4)若x∈[-8,8]时,函数y=f（x）的图像与直线y=a无公共点,求实数a的取值范围

Question

已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0),若f(x)的单调递减区间是(0,4)
若x∈[-8,8]时,函数y=f（x）的图像与直线y=a无公共点,求实数a的取值范围

Answer 1

该题属于基本的函数最值问题.
对f(x)求导得:3kx^2-6(k+1)x=x[3kx-6(k+1)] k=1
所以 f(x)=x^3-6x^2,要使x∈[-8,8]时,函数y=f（x）的图像与直线y=a无公共点,首先应求出:
f(x)在[-8,8]上的值域.
根据导数得:f(x)在(负无穷,0)递增,(0,4)递减,(4,正无穷)递增.
知:f(x)在x=-8或x=4处取得最小值；在x=0或x=8处取得最大值.分别代入f(x)=x^3-6x^2得:
f(-8)= - 896 ,f(4)= - 32 ,f(0)=0,f(8)=128
所以,在[-8,8]上,函数f(x)的值域是[-896,128]
要使y=a与之无公共点,则a128
综上所述:a的取值范围是(负的无穷大,-896)并上(128,正的无穷大)
如果您还不明白,可以随时和我联系,十分乐意为您效劳,