已知关于x的二次方程x2-2（a-2）x+a2-5=0的两根为α、β，且αβ=2α+2β，则a=，|α-β|=．

Question

已知关于x的二次方程x²-2（a-2）x+a²-5=0的两根为α、β，且αβ=2α+2β，则a= ___ ，|α-β|= ___ ．

Answer 1

由题意知，
α+β=2（a-2），
αβ=a²-5，
而αβ=2α+2β=2（α+β），
∴a²-5=2[2（a-2）]，
∴a²-4a+3=0，
解得：a₁=1，a₂=3．
又∵方程有两根，
∴△=4（a-2）²+4（a²-5）=-16a+36≥0，
∴a≤(9)/(4)，
∴a₂=3舍去．
当a=1时，原方程化为：x²+2x-4=0，
解得，α=-1-√(5)，β=-1+√(5)，
∴|α-β|=2√(5)．
故填空答案：1，2√(5)．