三角形ABC,AB=AC,DF是AC的中垂线,交AC于F点,交AB于E点,交CB的延长线于D点,已知角BCE=角ACE,求证BD=AC

Question

三角形ABC,AB=AC,DF是AC的中垂线,交AC于F点,交AB于E点,交CB的延长线于D点,已知角BCE=角ACE,求证BD=AC

Answer 1

连结AD,因为DF是AC的中垂线,所以DA=DC,EA=EC
所以∠DAC=∠DCA,∠EAC=∠ACE
而∠BCE=∠ACE=(1/2)∠ACB
因为AB=AC
所以∠ABC=∠ACB,∠BAC=∠ACE=(1/2)∠ACB
2∠ACB+(1/2)∠ACB=180°
解之得∠ACB=72°
∠ABC=∠ACB=72°,∠DAC=∠DCA=72°,∠BAC=(1/2)∠ACB=36°
所以∠DAB=∠DAC-∠BAC=36°
∠ADB=∠ABC-∠DAB=36°=∠DAB
所以BD=BA=AC
得证