A1.B1.A2.B2为椭圆X^2/a+Y^2/b=1的四个顶点,F为右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于T,线段OT与椭圆交M,M恰为OT中点,则该椭圆的离心率?

Question

A1.B1.A2.B2为椭圆X^2/a+Y^2/b=1的四个顶点,F为右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于T,线段OT与椭圆交M,M恰为OT中点,则该椭圆的离心率?

Answer 1

假定椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）
则A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,-b),F(c,0)
由直线的截距式有
A1B2：x/(-a)+y/(-b)=1
B1F：x/c+y/b=1
联立解得交点T坐标为
Tx=2ac/(a-c)
Ty=-[(a+c)b]/(a-c)
于是OT的中点M的坐标为
Mx=ac/(a-c)
My=-[(a+c)b]/[2(a-c)]
因M在椭圆上,则
[ac/(a-c)]^2/a^2+{-[(a+c)b]/[2(a-c)]}^2/b^2=1
引入c/a=e,并化简整理得e^2+10e-3=0
解得e=2√7-5（注意到e>0）