如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱PA垂直底面ABCD,PA=AD=1,E,F分别为PD,AC的中点（1）求证：EF平行于平面PAB（2）求点F到平面ABE的距离

Question

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱PA垂直底面ABCD,PA=AD=1,E,F分别为PD,AC的中点
（1）求证：EF平行于平面PAB
（2）求点F到平面ABE的距离

Answer 1

几何法:
(1)连接BD
∵四边形ABCD是正方形,F是AC中点,∴F是BD中点
∵E是PD中点,∴EF∥PB
∴EF∥面PAB
(2)S△FAB=S正方形ABCD/4=1/4
取AD中点G,连接EG,则EG是△PAD的中位线
∴EG∥PA,EG=PA/2=1/2
∵PA⊥面ABCD,∴EG⊥面ABCD
∴V三棱锥EFAB=1/3*EG*S△FAB=1/24
∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AD
∵PA=AD=1,∴AE=√2/2
又得PA⊥AB,AB⊥AD,∴AB⊥面PAD
∵PE在面PAD上,∴AB⊥AE
∴S△EAB=1/2*AE*AB=√2/4
设F到面EAB距离为d,则
V三棱柱EFAB=1/3*d*S△EAB
解得d=√2/4
向量法:
(1)∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AD,PA⊥AB
∵四边形ABCD是正方形,∴AB⊥AD
∴以A为原点,AB,AD,AP为坐标轴建系
则E(0,1/2,1/2),F(1/2,1/2,0)
易得面PAB法向量为AD→=(0,1,0)
EF→=(1/2,0,-1/2)
∵EF→·AD→=0,∴EF→⊥AD→
∴EF∥面PAB
(2)∵AB⊥面PAD,∴AB⊥PD
∵E是PD中点,PA=AD,∴PD⊥AE
∴PD⊥面ABE,即PD→=(0,1,-1)是面ABE的法向量
AF→=(1/2,1/2,0)
设F到面ABE距离为d,则
d=|AF→·PD→|/|PD→|=|1/2|/√2=√2/4