若正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球O的体积为43π，则球心O到正方体的一个面ABCD的距离为（）A.1B.2C.3D.4

Question

若正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球O的体积为4√(3)π，则球心O到正方体的一个面ABCD的距离为（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Answer 1

设球O的半径为R，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内接于球O，
∴正方体的对角线长等于球O的直径，可得2R=√(3)a．
又∵球O的体积为4√(3)π，
∴V=(4π)/(3)•R3=4√(3)π，解得R=√(3)，
由此可得√(3)a＝2R＝2√(3)，解得a=2．
∵球O是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球，
∴点O是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心，
可得点O到正方体的一个面的距离等于正方体棱长的一半，即d=(1)/(2)a＝1．
因此，球心O到正方体的一个面ABCD的距离等于1．
故选：A