[x]+[x^2]=[x^3]解高斯函数方程

Question

[x]+[x^2]=[x^3] 解高斯函数方程

Answer 1

首先,当x＜0时,[x]＜0,[x²]＞0,[x³]＜0,而且,x,x²,x³三者的绝对值肯定是三次方式子最大,显然,且,左边是一正一负,右边是幅值最大的负数,故而可知在x＜0区间,原方程是不会有根的.
而当0≤x＜0时,x,x²,x³都是大于0小于1的,因此,三者的高斯函数都是0,满足题目要求,是解的范围.
同样的,根据幅值来分析,方程左右的差值会逐渐增大,且当x=2时,方程右边已经比左边大了,因此另外如果有解,必然在是在区间(1,2)上.
另外,√2,√3∈(1,2),*√2,*√3,*√4,*√5,*√6,*√7∈(1,2) *√表示开3次方,这几个数的大小顺序为1＜*√2＜√2＜*√3＜*√4＜*√5＜√3＜*√6＜*√7＜2,这样就把(1,2)这个区间分成了9段.
1＜*√2→[x]=1,[x²]=1,[x³]=1
*√2＜√2→[x]=1,[x²]=1,[x³]=2
√2＜*√3→[x]=1,[x²]=2,[x³]=2
*√3＜*√4→[x]=1,[x²]=2,[x³]=3
*√4＜*√5→[x]=1,[x²]=2,[x³]=4
*√5＜√3→[x]=1,[x²]=2,[x³]=5
√3＜*√6→[x]=1,[x²]=3,[x³]=5
*√6＜*√7→[x]=1,[x²]=3,[x³]=6
*√7＜2→[x]=1,[x²]=3,[x³]=7
由此可见,上面的9个区段中,只有[x]=1,[x²]=1,[x³]=2和[x]=1,[x²]=2,[x³]=3这两种情况满足题目等式要求,因此x的范围为[*√2,√2)和[*√3,*√4),再次重申*√是开三次方,再加上之前的[0,1)区间,可得,原方程的解为
[0,1)∪[*√2,√2)∪[*√3,*√4)