设点A（1,-1）,B（0,1）,若直线ax+by=1与线段AB（包括端点）有公共点,则a^2+b^2的最小值是多少?

Question

设点A（1,-1）,B（0,1）,若直线ax+by=1与线段AB（包括端点）有公共点,则a^2+b^2的最小值是多少?

Answer 1

∵a²+b²≥2ab(当a=b时,有最小值)
∴a²+b²≥2b²
设直线的公式为y=kx+b,将A点,B点带入直线公式中
得到y=-2x+1
如下图

直线ax+by=1→y=-ax/b+1/b
∵a=b
∴y=-x+1/b
先做出y=-x的直线,如上图所示过原点的一条直线,并且经过A点（1,-1）
得到上图的直线,1/b是y轴上的点
向上平移y=-x才有跟线段AB有交点
∴0<1/b≤1
∴b≧1
∴a²+b²≥2b²≥2