分布律为P{X=k}=0.5^2,的随机变量的X的期望为

Question

分布律为P{X=k}=0.5^2,的随机变量的X的期望为

Answer 1

P{X=k}=0.5^k,k=0,1,2,.
不对萨,直接 P{X=0} 就是 1 了,还怎么求和等于 1
应该是P{X=k}=0.5^k,k=1,2,.
或者P{X=k}=0.5^(k+1),k=0,1,2,.
如果是P{X=k}=0.5^k,k=1,2,.,则
EX=∑_(k>=1) k0.5^k ,所以,0.5EX=∑_(k>=1) k 0.5^(k+1) = ∑_(k>=2) (k-1)0.5^k
两式相减,得：0.5EX= 1*0.5^1 + ∑_(k>=2) 0.5^k = 0.5 + 0.5^2 / (1-0.5) =0.5+0.5=1,
所以,最后,EX=2
如果是P{X=k}=0.5^(k+1),k=0,1,2,.,则
EX=∑_(k>=0) k0.5^(k+1) ,所以,0.5EX=∑_(k>=0) k 0.5^(k+2) = ∑_(k>=1) (k-1)0.5^(k+1)
两式相减,得：0.5EX= 0*0.5^1 + ∑_(k>=1) 0.5^(k+1) = 0 + 0.5^2 / (1-0.5) =0.5,
所以,最后,EX=1
其实,第二种情况相当于把第一种情况向左平移1,所以,EX自然相差1.