一个使我困惑的数学概念,若P、A、B、C为空间不同的四点,且有向量PA=a*向量PB+b*向量PC,则a+b=1是ABC三点共线的充要条件——可是如果C、P、A、B四点共线,且P、A依次是线段CB的三等分点,即CP=PA=AB,

Question

一个使我困惑的数学概念,
若P、A、B、C为空间不同的四点,且有向量PA=a*向量PB+b*向量PC,则a+b=1是ABC三点共线的充要条件——可是如果C、P、A、B四点共线,且P、A依次是线段CB的三等分点,即CP=PA=AB,这样的话a+b=2了,怎么是充要条件呢?难道是一位‘P、A、B、C为空间不同的四点’所以四点不能共线?课本上也说是充要条件,可没说不可以共线啊?

Answer 1

你想错了吧...应该是不共线的四点．．．
先写个证明吧：
PA=aPB+bPC,a+b=1
PA=aPB+(1-a)PC
PA-PC=a(PB-PC)
CA=aCB
所以共线．．．
但是,照你那样,一开始就是共线了,可以随便写,假设：PA＝10000,PB＝1,PC＝2,还是可以写出a,b的,而且,还可以有无限种组合．．．也是可以凑a+b=1的．．．还有后面的必要吗?