已知函数f（x）=x2+ax（x≠0）．（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若f（1）=2，试判断f（x）在[2，+∞）上的单调性．

Question

已知函数f（x）=x²+(a)/(x)（x≠0）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（1）=2，试判断f（x）在[2，+∞）上的单调性．

Answer 1

（1）当a=0时，f（x）=x²，f（-x）=f（x），函数是偶函数．…（2分）
当a≠0时，f（x）=x²+(a)/(x)（x≠0，常数a∈R），取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0；
f（-1）-f（1）=-2a≠0，
∴f （-1）≠-f （1），f （-1）≠f （1）．…（5分）
∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．…（6分）
（2）若f（1）=2，即1+a=2，解得a=1，这时f（x）=x²+(1)/(x)．…（7分）
任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，…（8分）
则f（x₁）-f（x₂）=

x

2 1

+(1)/(x1)−(

x

2 2

+(1)/(x2))＝(x1−x2)(x1+x2)+(x2−x1)/(x1x2)=(x1−x2)[(x1+x2)−(1)/(x1x2)]，…（11分）
由于x₁≥2，x₂≥2，且x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞(1)/(x1x2)，…（12分）
所以f（x₁）＜f（x₂），…（13分）
故f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数．…（14分）