已知点F（6，4）和直线L1：y=4x，求过P的直线L，使它和L1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小．

Question

已知点F（6，4）和直线L₁：y=4x，求过P的直线L，使它和L₁以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小．

Answer 1

设l与l₁的交点为Q（x₁，4x₁），（ x₁＞0），则l：y-4=(4x1−4)/(x1−6)（x-6），令y=0，得x=(5x1)/(x1−1)，∴l与x轴的交点R（(5x1)/(x1−1)，0）
∴S_△OQR=(1)/(2)|y_Q|•|OR|=(1)/(2)|4x₁|•|(5x1)/(x1−1)|=(10x21)/(x1−1)（其中x₁＞1）．令S=(10x21)/(x1−1)，
则10x₁²-sx₁+s=0，∵x₁∈R，∴△=s²-40s≥0．又S＞0，∴s≥40，当s=40时，x₁=2．
∴当x₁=2时，△OQR的面积最小，其值为40，此时l：y-4=(8−4)/(2−6)（x-6），即x+y-10=0．
故答案为：x+y-10=0．