【请教高手】概率论多维随机变量证明题设连续随机变量X1、X2……Xn独立同分布,试证P（Xn>max（X1、X2、……Xn-1））=1/n

Question

【请教高手】概率论多维随机变量证明题
设连续随机变量X1、X2……Xn独立同分布,试证P（Xn>max（X1、X2、……Xn-1））=1/n

Answer 1

用三种方法给你解答
（方法一）
用对称的思想考虑,由于这n个随机变量独立同分布,所以“第i个随机变量值是最大的”（i=1,2,.,n）这个事件是等可能的,所以有P（Xn>max（X1、X2、……Xn-1））=1/n
（方法二）
顺序统计量方法：我建议你看一下任意一本多维统计的书,肯定有顺序统计量的问题,那上面有公式和公式推导证明,百度写公式我写不起啊,谅解!（这种方法很麻烦）
（方法二）
由于n个随机变量独立同分布,所以可以转化成以下问题：
有n个小球,分别标上1~n；另有n个盒子.
提出问题：将n个小球随机放入n个盒子中,恰好第n号球放到n号盒中的概率就是P（Xn>max（X1、X2、……Xn-1））=1/n.
因为首先,在不考虑放入顺序的前提下随机放球一共有n!种放法；n号对号入座的放法有
(n-1)!种,从而P（Xn>max（X1、X2、……Xn-1））=(n-1)!/n!=1/n.
你可能会问为什么我要这么建立模型,那是因为你把n个随机变量取的数大小进行排序然后得出的排列和放球问题可以完全匹配,所以这个模型成立.