随机变量X,Y,期望均为0,方差均为1,相关系数为r.证明E[max{X^2,Y^2}]小于等于1+（1-r^2)^(1/2).其中符号^表示次方.

Question

随机变量X,Y,期望均为0,方差均为1,相关系数为r.证明E[max{X^2,Y^2}]小于等于1+（1-r^2)^(1/2).其中符号 ^ 表示次方.

Answer 1

r=Cov(X,Y)/(D(X)D(Y))*0.5
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(XY)
得r=E(XY)
设X〉Y
则E(X^2)^2+E(XY)^2<=2E(X^2)
E(X^2)^2-2E(X^2)+1<=1-E(XY)^2
E(X^2)-1<=(1-E(XY)^0.5)^0.5
所以E(X^2)<=(1-E(XY)^0.5)^0.5+1
即E[max{X^2,Y^2}]<=1+（1-r^2)^(1/2)