设数列{An}的前n项和为Sn,已知A1=1,Sn+1=4An+2 求：（1）设bn=An+1-2An,证明数列{bn}是等比数列(2)求数an

Question

设数列{An}的前n项和为Sn,已知A1=1,Sn+1=4An+2 求：（1）设bn=An+1-2An,证明数列{bn}是等比数列(2)求数
an

Answer 1

(1)
由a1＝1,及S(n＋1)＝4an＋2
得：a1＋a2＝4a1＋2,a2＝3a1＋2＝5
∴b1＝a2－2a1＝3
由S(n＋1)＝4an＋2 ①
则当n ≥ 2时,有Sn＝4a(n－1)＋2 ②
②－①得：
a(n＋1)＝4an－4a(n－1)
∴a(n＋1)－2an＝2[an－2a(n－1)]
又bn＝a(n＋1)－2an
∴bn＝2b(n－1)
∴{bn}是以b1＝3为首项、以2为公比的等比数列
(2)
由(1)可得：
bn＝a(n＋1)－2an＝3•2^(n－1)
∴[a(n＋1)]/[2^(n＋1)]－(an)/(2^n)=3/4
∴数列{(an)/(2^n)}是首项为1/2,公差为3/4的等差数列
∴(an)/(2^n)＝1/2＋(n－1)3/4＝3/4n－1/4
即an＝(3n－1)•2^(n－2) (n∈N*)