等价无穷小替换公式最后一个怎么证明?limx=0 (1+x)^(1/n)-1~x/n

Question

等价无穷小替换公式最后一个怎么证明?
limx=0 (1+x)^(1/n)-1~x/n

Answer 1

用洛必达法则证明就可以了
lim[(1+x)^(1/n)-1]/(x/n) (分子分母同时求导)
=lim[(1/n)*((1+x)^(1/n-1))]/（1/n）
=lim(1+x)^(1/n-1)
x趋于0,1+x趋于1,(1+x)^(1/n-1)就趋于1
即[(1+x)^(1/n)-1]与(x/n) 为等价无穷小