求极限x-->0时lim（tanx-sinx）/(x^2*tanx)用分子先提取tanx再用等价无穷小代换算到正确答案1/2.但如果先把分子分母同除以一个x,再用等价无穷小代换,分子就是tanx/x-sinx/x=x/x-x/x=1-1=0,极限为0,这里

Question

求极限 x-->0时lim（tanx-sinx）/(x^2*tanx) 用分子先提取tanx再用等价无穷小代换算到正确答案1/2.但如果先把分子分母同除以一个x,再用等价无穷小代换,分子就是tanx/x-sinx/x=x/x-x/x=1-1=0,极限为0,这里的代换也是用在因式里呀,究竟错哪了?
小弟刚学高数,可能问题弱弱的,请多多指教!

Answer 1

注意等价无穷小代换的用法
一般情况下最好用在乘法和除法当中,碰到加减法是要慎用
如果用无穷小代换代入以后得到了无穷小,那么就要十分注意了,因为有以下几种情形
无穷小/常数=无穷小
无穷小/无穷大=无穷小
无穷小/无穷小.结果未定,这个应该是属于待定型中的0/0型的,
比如在x-->0时,lim sinx/x=1； lim sinx/x²=∞； lim (sinx)²/x=0
因此这道题你如果用后面的形式做,那么极限式子就变成了0/0型,结果不能说是0