如图,在△ABC中,设AB>AC,过A作△ABC的外接圆的切线l,又以A为圆心,AC为半径作圆,分别交线段AB于D,交直线l于E、F.求证：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心.

Question

如图,在△ABC中,设AB>AC,过A作△ABC的外接圆的切线l,又以A为圆心,AC为半径作圆,分别交线段AB于D,交直线l于E、F.求证：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心.

Answer 1

证明：(1)先证DE过△ABC的内心.
　　连DE、DC,作∠BAC的平分线分别交DE于I、DC于G,连接IC.
则由AD=AC,
得AG⊥DC,ID=IC.
　　又D、C、E在⊙A上,
∴∠IAC=∠DAC=∠IEC.
∴A、I、C、E四点共圆.
∴∠CIE=∠CAE=∠ABC.而∠CIE=2∠ICD,
　　∴∠ICD=∠ABC.
　　∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+∠ABC.∴∠ACI=∠ACB.
∴I为△ABC的内心.
(2)再证DF过△ABC的一个旁心.
　　连FD并延长交∠ABC的外角平分线于I1,连II1、BI1、BI,由(1)知,I为内心,
∴∠IBI1=90°=∠EDI1.∴D、B、I1、I四点共圆.
∵∠BII1=∠BDI1=90°-∠ADI=(∠BAC+∠ADG)-∠ADI=∠BAC+∠IDG,
∴A、I、I1共线.
　　∴I1是△ABC的BC边外的旁心.