设各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10=10，S30=70，则S40等于（）A.150B.-200C.150或-200D.400或-50

Question

设各项均为实数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₀=10，S₃₀=70，则S₄₀等于（　　）
A. 150
B. -200
C. 150或-200
D. 400或-50

Answer 1

根据等比数列的前n项和的公式化简S₁₀=10，S₃₀=70得：
S₁₀=(a(1−q10))/(1−q)=10，S₃₀=(a(1−q30))/(1−q)=70，
则(S30)/(S10)=(1−q30)/(1−q10)=((1−q10)(1+q10+q20))/(1−q10)=7，得到1+q¹⁰+q²⁰=7，
即（q¹⁰）²+q¹⁰-6=0，解得q¹⁰=-3（舍去），q¹⁰=2，
则(S40)/(S10)=((a(1−q40))/(1−q))/((a(1−q10))/(1−q))=(1−(q10)4)/(1−q10)=(1−24)/(1−2)=15，
所以S₄₀=15S₁₀=150．
故选A