已知数列{An}满足A1=1,A2=3,An+2=3An+1-2An(n属于N*)问：1,证明{An+1-An}是等比数列2,求数列{An}的通项公式注：An是an,因为把A打成a容易发生歧义`~An+2=3An+1-2An是2,3都加在n上最主要的是第2问,希望能把过

Question

已知数列{An}满足A1=1,A2=3 ,An+2=3An+1-2An (n属于N*)
问：1,证明{An+1-An}是等比数列
2,求数列{An}的通项公式
注：An是an,因为把A打成a容易发生歧义`~
An+2=3An+1-2An 是2,3都加在n上
最主要的是第2问,希望能把过程写下来,最好还有文字说明~
因为过几天该我到课堂上讲题了,可是我不太明白第2问~
希望有人能帮我解答,那我是在感激不尽了!

Answer 1

（1）已知：A(n+2)=3A(n+1)-2An
所以：A(n+2)-A(n+1)=2A(n+1)-2An =2[A(n+1)-An]
[A(n+2)-A(n+1)]/[A(n+1)-An]=2.
故{An+1-An}是等比数列,公比为2.
（2）A(n)-A(n-1)=2[A(n-1)-A(n-2)]=2^2[A(n-2)-A(n-3)]=...=2^(n-2)[A(2)-A(1)]=2^(n-2)[3-1]=2^(n-1)；
所以 A(n)-A(n-1)=2^(n-1),A(n-1)-A(n-2)=2^(n-2),...,A2-A1=2；将等号左边与左边相加,右边与右边相加
A(n)-A1=2^(n-1)+2^(n-2)+2^(n-3)+...+2=2^n-2；
A(n)=2^n-2+1=2^n-1.