解同余方程:x^2-3y^2=-2如何验证包含所有整数解

Question

解同余方程:x^2-3y^2=-2
如何验证包含所有整数解

Answer 1

这个不算同余方程,应该算不定方程.
这种形式属于广义Pell方程.
全体正整数解具有如下形式:
x+y√3 = (1+√3)·(2+√3)^n,n = 0,1,2,...
即将右端展开为x+y√3形式,则x,y就是方程的正整数解.
验证是解比较容易:
由x+y√3 = (1+√3)·(2+√3)^n,
可得x-y√3 = (1-√3)·(2-√3)^n.
于是x²-3y² = (x+y√3)(x-y√3) = (1+√3)·(1-√3)·(2+√3)^n·(2-√3)^n = -2.
证明包含所有正整数解,我只写个大意.
若x = a,y = b是x²-3y² = -2的一组正整数解.
考虑(a+b√3)/(1+√3) = (3b-a)/2+(a-b)/2·√3.
可知,x = (3b-a)/2,y = (a-b)/2是Pell方程x²-3y² = 1的正整数解.
只需要证明x²-3y² = 1的正整数解具有形式:x+y√3 = (2+√3)^n.
若x = a,y = b是x²-3y² = 1的一组正整数解.
考虑(a+b√3)/(2+√3) = (2a-3b)+(2b-a)√3.
若b > 1,则a² = 3b²+1 < 4b²,有a < 2b.
可知x = 2a-3b,y = 2b-a仍是x²-3y² = 1的正整数解,且2b-a < b.
依此类推,可得到一列递减的正整数解,直至x = 2,y = 1.
逆推回去即得x+y√3 = (2+√3)^n.