已知曲线C：x^2+y^2-4ax+2ay-20+20a=0已知曲线C:x^2+y^2-4ax+2ay-20+20a=01证明不论a取任何值,曲线必过定点2a≠2时,证明曲线C是一个圆,且圆心在一条直线上3若曲线C与x轴相切,求a的值好的会再加分

Question

已知曲线C：x^2+y^2-4ax+2ay-20+20a=0
已知曲线C:x^2+y^2-4ax+2ay-20+20a=0
1 证明不论a取任何值,曲线必过定点
2 a≠2时,证明曲线C是一个圆,且圆心在一条直线上
3 若曲线C与x轴相切,求a的值
好的会再加分

Answer 1

一:原式整理得a(2y-4x+20)=20-x^2-y^2,由2y-4x+20=0时,与a无关,此时右边20-x^2-y^2=0,解得x=-2,y=4,所以原曲线必过定点(-2,4)
二:原式整理得(x-2a)^2+(y+a)^2=20+5a^2-20a=5(a-2)^2,当a≠2时,右边恒正,所以曲线C是一个圆,且圆心的横坐标为2a,纵坐标为-a,则y=-x/2可证得曲线是以(2a,-a)为圆心,圆心在直线y=-x/2上的一个圆
三:当曲线C与x轴相切时,则圆心(2a,-a)到切线x轴的距离 |-a|=根号5|a-2| (半径)解得a=(5+ -根号5)/2