已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=2，且．a2是a1、a4的等比中项，n∈N*．（I）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）若数列{an}的前n项和为Sn记数列{1Sn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜1．

Question

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=2，且．a₂是a₁、a₄的等比中项，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n记数列{(1)/(Sn)}的前n项和为T_n，求证：T_n＜1．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
由题意得a22＝a1a4，即(a1+d)2＝a1(a1+3d)，
∴（2+d）²=2（2+3d），解得 d=2，或d=0（舍），
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
Sn＝na1+(n(n−1))/(2)d＝2n+n(n−1)＝n2+n，
∴(1)/(Sn)＝(1)/(n2+n)＝(1)/(n(n+1))=(1)/(n)−(1)/(n+1)，
∴Tn＝(1)/(S1)+(1)/(S2)+…+(1)/(Sn)=(1−(1)/(2))+((1)/(2)−(1)/(3))+…+((1)/(n)−(1)/(n+1))，
=1−(1)/(n+1)，
∵n∈N^*，∴T_n＜1．