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已知数列{an}是公差不为0的等差数列,a1=2,且.a2是a1、a4的等比中项,n∈N*.(I)求数列{an}的通项公式an;(Ⅱ)若数列{an}的前n项和为Sn记数列{1Sn}的前n项和为Tn,求证:Tn<1.
题目详情
已知数列{an}是公差不为0的等差数列,a1=2,且.a2是a1、a4的等比中项,n∈N*.
(I)求数列{an}的通项公式an;
(Ⅱ)若数列{an}的前n项和为Sn记数列{
}的前n项和为Tn,求证:Tn<1.
(I)求数列{an}的通项公式an;
(Ⅱ)若数列{an}的前n项和为Sn记数列{
1 |
Sn |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
由题意得a22=a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),
∴(2+d)2=2(2+3d),解得 d=2,或d=0(舍),
∴an=a1+(n-1)d=2n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
Sn=na1+
d=2n+n(n−1)=n2+n,
∴
=
=
=
−
,
∴Tn=
+
+…+
=(1−
)+(
−
)+…+(
−
),
=1−
,
∵n∈N*,∴Tn<1.
由题意得a22=a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),
∴(2+d)2=2(2+3d),解得 d=2,或d=0(舍),
∴an=a1+(n-1)d=2n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
Sn=na1+
n(n−1) |
2 |
∴
1 |
Sn |
1 |
n2+n |
1 |
n(n+1) |
1 |
n |
1 |
n+1 |
∴Tn=
1 |
S1 |
1 |
S2 |
1 |
Sn |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n |
1 |
n+1 |
=1−
1 |
n+1 |
∵n∈N*,∴Tn<1.
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