集合A满足条件:若a属于A,则f(a)=2a/2a+1属于A且f(f(a))属于,.,如此下去,是否存在仅含有两个元素集合A用描述法写出一个满足条件的无穷集合,

Question

集合A满足条件:若a属于A,则f(a)=2a/2a+1属于A且f(f(a))属于,.,如此下去,是否存在仅含有两个元素集合A
用描述法写出一个满足条件的无穷集合,

Answer 1

若仅含有2个元素,则为{a,2a/(2a+1)},显然a0,否则两元素相同.
同时有f(f(a))=2*2a/(2a+1)/[2*2a/(2a+1)+1]=4a/[4a+2a+1]=4a/(6a+1)
1）若4a/(6a+1)=a,得：a=1/2
a=1/2,A中2个元素都为1/2,不符
2）若4a/(6a+1)=2a/(2a+1),得：2/(6a+1)=1/(2a+1),即a=1/2
由上,不符
综上所述,不存在只含有2个元素的集合A.
a1=a
a2=f(a)=2a/(2a+1)
a3=f(f(a))=4a/(6a+1)
a4=8a/(6a+1)/[8a/(6a+1)+1]=8a/(14a+1)
...
用归纳法易证：ak=2^(k-1)a/[(2^k-2)a+1]
所以A={x|x=2^(k-1)a/[(2^k-2)a+1],k∈N*},N*为正整数集