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已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的某个领域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x),其中α(x)是当x→0时,比x高阶的无穷小,且f(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f
题目详情
已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的某个领域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x),其中α(x)是当x→0时,比x高阶的无穷小,且f(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方程.
▼优质解答
答案和解析
由题目条件可知
[f(1+sinx)−3f(1−sinx)]=
[8x+α(x)]
得f(1)-3f(1)=0,故f(1)=0.
又
=
[
+
]=8
设sinx=t,则有
=
+3
=4f′(1)
所以f'(1)=2
由于f(x+5)=f(x),所以f(6)=f(1)=0,f'(6)=f'(1)=2
所以切线方程为y=2(x-6),即2x-y-12=0
故切线方程为:2x-y-12=0
lim |
x→0 |
lim |
x→0 |
得f(1)-3f(1)=0,故f(1)=0.
又
lim |
x→0 |
f(1+sinx)−3f(1−sinx) |
sinx |
lim |
x→0 |
8x |
sinx |
α(x) |
x |
x |
sinx |
设sinx=t,则有
lim |
x→0 |
f(1+sinx)−3f(1−sinx) |
sinx |
=
lim |
t→0 |
f(1+t)−f(1) |
t |
lim |
t→0 |
f(1−t)−f(1) |
−t |
所以f'(1)=2
由于f(x+5)=f(x),所以f(6)=f(1)=0,f'(6)=f'(1)=2
所以切线方程为y=2(x-6),即2x-y-12=0
故切线方程为:2x-y-12=0
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