已知f（x）是周期为5的连续函数，它在x=0的某个领域内满足关系式f（1+sinx）-3f（1-sinx）=8x+α（x），其中α（x）是当x→0时，比x高阶的无穷小，且f（x）在x=1处可导，求曲线y=f（x）在点（6，f

Question

已知f（x）是周期为5的连续函数，它在x=0的某个领域内满足关系式f（1+sinx）-3f（1-sinx）=8x+α（x），其中α（x）是当x→0时，比x高阶的无穷小，且f（x）在x=1处可导，求曲线y=f（x）在点（6，f（6））处的切线方程．

Answer 1

由题目条件可知

lim

x→0

[f(1+sinx)−3f(1−sinx)]＝

lim

x→0

[8x+α(x)]
得f（1）-3f（1）=0，故f（1）=0．
又

lim

x→0

(f(1+sinx)−3f(1−sinx))/(sinx)＝

lim

x→0

[(8x)/(sinx)+(α(x))/(x)(x)/(sinx)]=8
设sinx=t，则有

lim

x→0

(f(1+sinx)−3f(1−sinx))/(sinx)
=

lim

t→0

(f(1+t)−f(1))/(t)+3

lim

t→0

(f(1−t)−f(1))/(−t)＝4f′(1)
所以f'（1）=2
由于f（x+5）=f（x），所以f（6）=f（1）=0，f'（6）=f'（1）=2
所以切线方程为y=2（x-6），即2x-y-12=0
故切线方程为：2x-y-12=0