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证明：(a×b)·c=(c×a)·b=(b×c)·a,其中a,b,c,均为向量
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证明：(a×b)·c=(c×a)·b=(b×c)·a,其中a,b,c,均为向量
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答案和解析
a=(a1,a2,a3);b=(b1,b2,b3);c=(c1,c2,c3)
a×b=| i j k|
|a1 a2 a3|
|b1 b2 b3|=(a2b3-b2a3,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)
所以：(a×b)·c=(a2b3-b2a3,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)·(c1,c2,c3)
=a2b3c1-b2a3c1+a3b1c2-a1b3c2+a1b2c3-a2b1c3
=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-b2a3c1
同理,(b×c)·a=b2c3a1-c2b3a1+b3c1a2-b1c3a2+b1c2a3-a2c1a3整理得
=b2c3a1+b3c1a2+b1c2a3-c2b3a1-b1c3a2-a2c1a3
=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-b2a3c1
同理可求得(c*a)*b
比较得:(a×b)·c=(c×a)·b=(b×c)·a,
a×b=| i j k|
|a1 a2 a3|
|b1 b2 b3|=(a2b3-b2a3,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)
所以：(a×b)·c=(a2b3-b2a3,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)·(c1,c2,c3)
=a2b3c1-b2a3c1+a3b1c2-a1b3c2+a1b2c3-a2b1c3
=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-b2a3c1
同理,(b×c)·a=b2c3a1-c2b3a1+b3c1a2-b1c3a2+b1c2a3-a2c1a3整理得
=b2c3a1+b3c1a2+b1c2a3-c2b3a1-b1c3a2-a2c1a3
=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-b2a3c1
同理可求得(c*a)*b
比较得:(a×b)·c=(c×a)·b=(b×c)·a,
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