已知abc为正实数且abc不全相等,若a+b+c=1,求证（1/a+1）（1/b+1）（1/c+1）>8最好是利用基本不等式来解

Question

已知abc为正实数且abc不全相等,若a+b+c=1,求证（1/a+1）（1/b+1）（1/c+1）>8
最好是利用基本不等式来解

Answer 1

事实上这题更好的下界不是8,应该是64
因为：
(1/a+1)(1/b+1)(1/c+1)=[(a+b+c)/a+1][(a+b+c)/b+1][(a+b+c)/c+1]=(b/a+c/a+1+1)(a/b+c/b+1+1)(a/c+b/c+1+1)
由卡尔松不等式：(b/a+c/a+1+1)（c/b+a/b+1+1)(a/c+b/c+1+1)>=(1+1+1+1)^3=64
原不等式是显然的,