公理Ⅴ连续公理中的V2那条不是很理解,公理Ⅰ结合公理Ⅰ1对于任意两个不同的点A、B,存在着直线a通过每个点A、B．Ⅰ2对于任意两个不同的点A、B,至多存在着一条直线通过每个点A、

Question

公理Ⅴ连续公理中的V2那条不是很理解,
公理Ⅰ结合公理　　Ⅰ1对于任意两个不同的点A、B,存在着直线a通过每个点A、B．
　　Ⅰ2对于任意两个不同的点A、B,至多存在着一条直线通过每个点A、B．
　　Ⅰ3在每条直线上至少有两个点；至少存在着三个点不在一条直线上．
　　Ⅰ4对于不在一条直线上的任意三个点A、B、C,存在着平面α通过每个点A、B、C．在每个平面上至少有一个点．
　　Ⅰ5对于不在一条直线上的任意三个点A、B、C,至多有一个平面通过每个点A、B、C．
　　Ⅰ6如果直线a上的两个点A、B在平面α上,那么直线a上的每个点都在平面α上．
　　Ⅰ7如果两个平面α、β有公共点A,那么至少还有另一公共点B．
　　Ⅰ8至少存在着四个点不在一个平面上．
编辑本段公理Ⅱ顺序公理
　　Ⅱ1如果点B在点A和点C之间,那么A、B、C是一条直线上的不同的三点,且B也在C、A之间．
　　Ⅱ2对于任意两点A和B,直线AB上至少有一点C,使得B在A、C之间．
　　Ⅱ3在一条直线上的任意三点中,至多有一点在其余两点之间．
　　Ⅱ4设A、B、C是不在一条直线上的三个点；直线a在平面ABC上但不通过A、B、C中任一点；如果a通过线段AB的一个内点,（①线段AB的内点即A、B之间的点． ）那么a也必通过AC或BC的一个内点(巴士(Pasch,1843—1930)公理)．
编辑本段公理Ⅲ合同公理(合同记作≡)
　　Ⅲ1如果A、B是直线a上两点,A′是直线a或另一条直线a′上的一点,那么在a或a′上点A′的某一侧必有且只有一点B′,使得A′B′≡AB．又,AB≡BA．
　　Ⅲ2如果两线段都合同于第三线段,这两线段也合同．
　　Ⅲ3设AB、BC是直线a上的两线段且无公共的内点；A′B′、B′C′是a或另一直线a′上的两线段,也无公共的内点．如果AB≡A′B′,BC≡B′C′,那么AC≡A′C′．
　　Ⅲ4设平面α上给定∠(h,k),在α或另一平面α′上给定直线a′和a′所确定的某一侧,如果h′是α′上以点O′为端点的射线,那么必有且只有一条以O′为端点的射线k′存在,使得∠(h′,k′)≡∠(h,k)．
　　Ⅲ5设A、B、C是不在一条直线上的三点,A′、B′、C′也是不在一条直线上的三点,如果AB≡A′B′,AC≡A′C′,∠BAC≡∠B′A′C′,那么∠ABC≡∠A′B′C′,∠ACB≡∠A′C′B′．
编辑本段公理Ⅳ平行公理
　　过定直线外一点,至多有一条直线与该直线平行．
编辑本段公理Ⅴ连续公理
　　Ⅴ1如果AB和CD是任意两线段,那么以A为端点的射线AB上,必有这样的有限个点A1,A2,…,An,使得线段AA1,A1A2,…,An-1An都和线段CD合同,而且B在An-1和An之间(阿基米德公理)．
　　Ⅴ2一直线上的点集在保持公理Ⅰ1,Ⅰ2,Ⅱ,Ⅲ1,Ⅴ1的条件下,不可能再行扩充．
　　注1．有些《几何基础》书中,常以康托(Cantor,1845—1918)
　　公理代替上述的Ⅴ2：
　　“一条直线上如果有线段的无穷序列A1B1,A2B2,A3B3,…,其中每一线段都在前一线段的内部,且对于任何线段PQ总有一个n存在,使得AnBn＜PQ,那么在这直线上必有且只有一点X落在A1B1,A2B2,A3B3,…的内部．”
　　注2．也有的书中,用与V1,V2等价的戴德金(Dedekind,1831—1916)公理作为连续公理：
　　“如果线段AB及其内部的所有点能分为有下列性质的两类：
　　(1)每点恰属一类；A属于第一类,B属于第二类；
　　(2)第一类中异于A的每个点在A和第二类点之间．
　　那么,必有一点C,使A、C间的点都属于第一类,而C、B间的点都属于第二类．”

Answer 1

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