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若(2x+4)2010=a0+a1x+a2x2+…+a2010x2010,则a0+a2+a4+…+a2010被3除的余数是多少?
题目详情
若(2x+4)2010=a0+a1x+a2x2+…+a2010x2010,则a0+a2+a4+…+a2010被3除的余数是多少?
▼优质解答
答案和解析
在已知等式中
取x=1得a0+a1+a2+…+a2010=62010,
取x=-1得a0-a1+a2-…+a2010=22010,
两式相加得2(a0+a2+…+a2010)=62010+22010,
即a0+a2+…+a2010=
×(62010+22010)=
×62010+22009.…(6分)
注意到
×62010能被3整除;…(8分)
22009=2×(22)1004=2×(3+1)1004=2×(31004+C10041•31003+…+C10041003•3+1),
被3除的余数是2,因此a0+a2+a4+…+a2010被3除的余数是2.…(12分)
取x=1得a0+a1+a2+…+a2010=62010,
取x=-1得a0-a1+a2-…+a2010=22010,
两式相加得2(a0+a2+…+a2010)=62010+22010,
即a0+a2+…+a2010=
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注意到
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22009=2×(22)1004=2×(3+1)1004=2×(31004+C10041•31003+…+C10041003•3+1),
被3除的余数是2,因此a0+a2+a4+…+a2010被3除的余数是2.…(12分)
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