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n阶方阵A对任意n维向量x,满足x^TAx=0,充要条件为AT=-A;证明:充分性:f=x^TAx,显然有f=x^T(A^T)x,所以f= x^T(-A)x即有:x^T(-A)x= x^TAx所以 x^TAx=0必要性:x^TAx=0有x^T(A^T)x=0所以 x^T(A+ A^T)x=0
题目详情
n阶方阵A对任意n维向量x,满足x^TAx=0,充要条件为AT=-A;
证明:
充分性:
f=x^TAx,显然有f=x^T(A^T)x,所以f= x^T(-A)x
即有:x^T(-A)x= x^TAx
所以 x^TAx=0
必要性:
x^TAx=0有x^T(A^T)x=0
所以 x^T(A+ A^T)x=0
(A+ A^T)^T= A+ A^T (实对称)
又x有任意性
所以 A+ A^T=0
点评:以上方法肯定是对的,但请看以下诡异的事件:
充要条件为 A=0
证明:
充分性:略
必要性:
x^TAx=0有x^T(A^T)x=0
x^TAxx^T(A^T)x=0
即:x^T(Ax) (Ax) ^Tx=0
(Ax) (Ax) ^T实对称
又x有任意性所以(Ax) (Ax) ^T=0
所以 Ax=0
又x有任意性所以 A=0
证明:
充分性:
f=x^TAx,显然有f=x^T(A^T)x,所以f= x^T(-A)x
即有:x^T(-A)x= x^TAx
所以 x^TAx=0
必要性:
x^TAx=0有x^T(A^T)x=0
所以 x^T(A+ A^T)x=0
(A+ A^T)^T= A+ A^T (实对称)
又x有任意性
所以 A+ A^T=0
点评:以上方法肯定是对的,但请看以下诡异的事件:
充要条件为 A=0
证明:
充分性:略
必要性:
x^TAx=0有x^T(A^T)x=0
x^TAxx^T(A^T)x=0
即:x^T(Ax) (Ax) ^Tx=0
(Ax) (Ax) ^T实对称
又x有任意性所以(Ax) (Ax) ^T=0
所以 Ax=0
又x有任意性所以 A=0
▼优质解答
答案和解析
"又x有任意性所以(Ax) (Ax) ^T=0
所以 Ax=0"
这有问题,Ax是一个关于x变化的向量.
你令
A=
0 -1
1 0
就能得到反例
所以 Ax=0"
这有问题,Ax是一个关于x变化的向量.
你令
A=
0 -1
1 0
就能得到反例
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