设数列{An}的前n项和Sn等于三分之四An减去2的n+1次方的三分之一再加上三分之二.求首项A1与通项An.Sn=(An的三分之四)-(2的n+1次方的三分之一）+2/3

Question

设数列{An}的前n项和Sn等于三分之四An减去2的n+1次方的三分之一再加上三分之二.求首项A1与通项An.
Sn=(An的三分之四)-(2的n+1次方的三分之一）+2/3

Answer 1

a1=S1=(4/3)a1-(1/3)2^2+2/3,
a1=2.
a(n)=S(n)-S(n-1)=
=[(4/3)a(n)-(1/3)2^(n+1)+2/3]-[(4/3)a(n-1)-(1/3)2^n+2/3]
=(4/3)a(n)-(4/3)a(n-1)-(1/3)2^n.
a(n)=4a(n-1)+2^n,
a(n)+2^n=4[a(n-1)+2^(n-1)],
a(n)+2^n是等比数列,首项为a1+2=4,公比为4,所以
a(n)+2^n=4^n=2^(2n),
a(n)=2^(2n)-2^n.