设函数f(x)满足条件f(x+y)=f(x)+f(y)且f(x)在x=0处连续证明f(x)设函数f(x)满足条件f(x+y)=f(x)+f(y)且f(x)在x=0处连续证明f(x)在所有的点x0处连续

Question

设函数f(x)满足条件f(x+y)=f(x)+f(y) 且f(x)在x=0处连续 证明f(x)
设函数f(x)满足条件f(x+y)=f(x)+f(y) 且f(x)在x=0处连续 证明f(x)在所有的点x0处连续

Answer 1

f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)
得f(0)=0
因为f(x)在x=0连续,
于是lim(x→0+)f(x)=0,且lim(x→0-)f(x)=0【后面要用到这两条】
lim(x→x0+)f(x)
=lim(t→0+)f(x0+t)
=lim(t→0+)f(x0)+lim(t→0+)f(t)
=f(x0)+0【用到f(x)在x=0的右极限为0】
=f(x0)
同理可证
lim(x→x0-)f(x)=f(x0)【过程和上面类似】
综上f(x)在任一点x0连续